Definisi
· Logika adalah suatu sistem berbasis proposisi. • Sistem adalah kesatuan yang terdiri dari komponen atau elemen yang dihubungkan bersama untuk memudahkan aliran informasi, materi, atau energi untuk mencapai suatu tujuan.
· Proposisi adalah suatu pernyataan (statement) yang dapat bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
· Dikatakan bahwa nilai kebenaran suatu proposisi adalah salah satu dari Benar (True) disajikan dengan T atau Salah (False) disajikan dengan F.
· Dalam untaian digital (digital circuits) disajikan dengan 0 dan 1. • Jika proposisi-proposisi akan dikombinasikan untuk memperoleh proposisi baru maka diperlukan operator logika yang dilambangkan sebagai berikut.
1. ¬ : ’not’ tau negasi
2. ∧ : ’and’ atau konjungsi
3. ∨ : ’or’ atau disjungsi atau ’inclusive or’
4. → : implies, atau ’Jika . . . maka . . .’, atau ’implikasi kondisional’
5. ←→ : ’jika dan hanya jika’, atau ’bikondisional’
1. Negasi Jika p sebarang proposisi, penyataan ”not p” atau ”negasi daripada p” akan bernilai F jika p bernailai T dan sebaliknya. Ditulis dengan ¬p.
2. Konjungsi / conjunction (and) Konjungsi adalah suatu operator binary atau diadika (diadic). Jika p dan q suatu proposisi, pernyataan p dan q akan benilai kebenaran T jika dan hanya jika kedua p dan q mempunyai nilai kebenaran T, dan ditulis dengan p∧q.
Sifat:
a. Komutatif (p ∧ q = q ∧p)
b. Asosiatif ((p ∧q)∧r = p ∧ (q ∧ r))
3. Disjungsi (or) Pernyataan ”p or q” bernilai T jika dan hanya jika salah satu p atau q (atau keduanya) bernilai T ditulis dengan p ∨ q.
Sifat:
a. Komutatif (p ∨ q = q ∨ p)
b. Asosiatif ((p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r))
Terdapat dua pengertian or yaitu inclusive or dan exclusive or. Inclusive or peristiwanya dapat terjadi keduanya bersamaan. Exclusive or peristiwanya tidak dapat terjadi keduanya bersamaan.
Tabel 1.1: Tabel kebenaran Inclusive or
P
|
V
|
Q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Tabel 1.2: Tabel kebenaran Exclusive or
P
|
V
|
Q
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
4. Implikasi (Implication) Arti daripada pernyataan ”if p then q” atau ”q if p” atau ”p hanya jika q” atau ”q syarat perlu untuk p” atau ”p syarat cukup untuk q” adalah T jika salh satu dari p bernilai T dan q bernilai T atau jika p benilai F. Ilustrasi dari implikasi adalah sebagai berikut ”Jika Anita pergi keluar negeri maka ia mempunyai passport” Penjelasannya adalah sebagai berikut.
a. Jika Anita keluar negeri (T) dan Ia mempunyai passport (T), maka legal (T)
b. Jika Anita keluar negeri (T) dan Ia tidak mempunyai passport (F), maka ilegal (F)
c. Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan Ia mempunyai passport (T), maka legl (T)
d. Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan Ia tidak memiliki passport (F), maka legal (T)
Pernyataan p → q selalu mempunyai tabel kebenaran (¬p) ∨ q dan juga dengan ¬ (p ∧¬ q) 5. Ekuivalensi Pernyataan ”p ekuivalen dengan q”mempunyai nilai kebenaran T jika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama ditulis dengan simbol p↔q.
5. Ekuivalensi Pernyataan ”p ekuivalen dengan q” mempunyai nilai kebenaran T jika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama ditulis dengan simbol p↔q. Sifat:
a. Komutatif (p ↔ q = q ←→ p)
b. Asosiatif ((p ↔ q) ↔r = p ↔ (q ↔ r))
c. Pernyataan ¬ (p ↔ q) mempunyai tabel kebenaran yang sama dengan pernyataan p Y q
d. Perhatikam bahwa ia juga dapat dipikirkan sebagai pernyataan ”p jika dan hanya jika q”
e. Bikondisial : p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p)
Prioritas Operator
Seperti pada ungkapan dalam ilmu hitung, maka operator logika pun terdapat prioritas sebagai berikut.
1. Operator (¬) prioritas tertinggi
2. Operator (∧) berprioritas berikutnya
3. Operator (∨) berprioritas berikutnya
4. Operator (→) berprioritas berikutnya
5. Operator (↔) berprioritas berikutnya
6. dan seterusnya operator yang lain
Contoh:
1. ”Saya lapar” dan ”Saya malas” atau ”Saya bahagia” dan ”Saya telah makan enak”, berarti (Saya lapar dan saya malas) atau (Saya bahagia dan saya telah makan enak)
2. ”Saya lapar ∧ saya sedih ∨ saya bahagia ∧ saya telah kekenyangan”, berarti (Saya lapar ∧ saya sedih) ∨ (Saya bahagia ∧ saya telah kekenyangan)
3. p∧¬q∨r → s ↔ p∨¬r∧t
Diartikan sebagai
(((p∧(¬q))∨r) → s) ↔ (p∨(¬r))∧t
Kalimat yang bukan pernyataan diantaranya kalimat perintah, kaimat pertanyaan, kalimat keheranan, kalimat harapan Logika Proporsional (Notasi Operator logis/ functor)
Tabel 1.3: Tabel kebenaran Exclusive or
Operator
|
Prof. Suhakso
|
Peano Russel
|
Hilbert
|
Burke
|
Kuliah
|
Polandia
|
Konjungsi
|
p & q
|
p . q
|
p & q
|
p ∧ q
|
p ∧ q
|
K p q
|
Disjungsi
|
p ∨ q
|
p ∨ q
|
p ∨ q
|
p ∨ q
|
p ∨ q
|
p ∨ q
|
Negasi
|
p ;p
|
p
|
p
|
¬ p
|
¬ p
|
N p
|
Implikasi
|
p → q
|
p ⊃ q
|
p → q
|
p ⇒ q
|
p → q
|
C p q
|
Bi-implikasi
|
p ↔ q
|
p ≡ q
|
p q
|
p ⇔ q
|
p ↔ q
|
E p q
|
Contoh
1. Notasi Polandia: E p q Disajikan dalam notasi yag lain: p ↔ q = p ≡ q = p q
2. Polandia: C K p q r Disajikan dalam notasi lain: C (p & q) r = (p & q) → r
3. Notasi Operator logika biasa: ¬(p∨q) Disajikan dalam notasi polandia : N A p q
4. Notasi Operator Logika Biasa : ¬((p∨q) → r) Disajikan dalam notasi polandia : N C A p q r
5. Notasi operator logika biasa: ((p∨ q)→ r ↔ (p ∧ q ) Disajikan dalam notasi polandia” E C A p q r K p q
6. Notasi opertaor logika biasa : ((p ∨ q) → (q ∨ r)) ↔¬ (p ∨¬ r ) Disajikan dalam notasi polandia: E C A p q K q r N C A p N r q
7. Notasi Operator Logika Biasa:
((p∧q) → r) ↔ ((p∧¬r) →¬q)
((Kpq) → r) ↔ ((p∧¬r) →)¬q)
C(Kpq)r ↔ ((p∧¬r) →¬q)
C(Kpq)r ↔ ((p∧(Nr)) →¬q)
C(kpq)r ↔ (Kp(Nr) →¬q)
C(Kpq)r ↔ (Kp(Nr) → (Nq))
C(Kpq)r ↔ (C(Kp(Nr)(Nq))
